Алексей Николаевич Мишин родился в Севастополе 8 марта 1941 года в семье военного. После войны семья Мишиных переезжает сначала в Тбилиси, а затем – в Ленинград.

Любовь к катанию на коньках Алексею Николаевичу еще в детстве привил отец. В 1964 году Мишин заканчивает факультет автоматики и вычислительной техники Ленинградского электротехнического института им. В. И. Ульянова (Ленина). Однако вскоре решает посвятить себя целиком фигурному катанию, которым профессионально занимается с 1956 года.

С 1967 года Алексей Мишин выступает в дуэте с Тамарой Москвиной. Уже в 1969 году пара завоевывает золотую медаль чемпионата СССР. Также, в их активе серебряная медаль чемпионата мира, серебряная и бронзовая медали чемпионата Европы.

В 1969 году пара Мишин-Москвина прекращает выступления и переходит к тренерской работе. Главным образом, Алексей Николаевич тренирует фигуристов-одиночников. Он подготовил таких знаменитых фигуристов, как Юрия Овчинникова, Алексея Урманова, Алексея Ягудина, Евгения Плющенко. Тренировал также и свою будущую супругу Татьяну Оленеву, ставшую впоследствии чемпионом СССР и известным тренером.

Имеет двух сыновей. Награжден званиями Заслуженного мастера спорта СССР, Заслуженного тренера СССР и России, орденом Дружбы Народов.