Игорь Владимирович Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве. Окончив школу, пошел учиться на актера. В 1955 году Кваша окончил Школу-студию МХАТ и два года играл на сцене МХАТа.

В 1957 году он переходит на работу в театр «Современник», где и работает всю свою жизнь. Его называют одним из основателей этого театра, вместе с Олегом Ефремовым и Галиной Волчек.

Актер сыграл большое количество ролей в театре и кино. В кино Игорь Кваша дебютировал в 1961 году в фильме «В трудный час». А первой большой работой стала роль Карла Маркса в кинокартине «Год как жизнь». Он пробовал свои силы и в качестве режиссера, поставив спектакли: «Дни Турбиных», «Кот домашний средней пушистости», «Кабала святош» «Балалайкин и К°».

Лучшими фильмами с его участием являются: «Соломенная шляпка», «Жребий», «Просто Саша», «Сыщик», «Тот самый Мюнгхаузен», «Сказки старого волшебника», «Человек с бульвара Капуцинов».

Кваша является ведущим актером «Современника» и играет: Гаева в «Вишневом саде», Папашу Карамазова в спектакле «Карамазовы и ад», Степана Верховенского в «Бесах», Рассказчика в «Балалайкин и К°», Фальстафа в «Виндзорских насмешницах», Пьетро в «Титуле», Лестера в спектакле «Играем... Шиллера!», Саймона в «Трудных людях».

На протяжении нескольких лет Игорь Кваша являелся ведущим телевизионной передачи Первого канала «Жди меня».