Ричард Уильям Райт родился 28 июля 1943 года в Лондоне в семье биохимика. С детства проявлял способности к музыке. Играл на фортепиано, гитаре, трубе и тромбоне.

В 1962 году Райт поступил на архитектурный факультет Политехнического института. Там, вместе с однокурсниками Ником Мейсоном и Роджером Уотерсом, сформировал группу Sigma 6. Именно тогда он познакомился со своей будущей женой Джульеттой Гейл. Группа постоянно меняла названия и состав, но не имела большого успеха.

Лишь в 1965 году к группе, носившей на тот момент название «The Abdabs», примкнул Сид Барретт, и вскоре появилась группа «Пинк Флойд», ставшая впоследствии одной из ведущих на андеграундной мировой сцене. Изящные клавишные партии Райта были неотъемлемыми компонентом и отличительной чертой «Pink Floyd». В некоторых композициях Ричард Райт был основным вокалистом. Он написал много из того, что сейчас считается классикой «Pink Floyd». Манера игры Райта стала особенно популярна после вышедшего в 1973 году самого успешного альбома группы «Тёмная сторона луны».

Вскоре после записи альбома «Стена» (1979) Ричард Райт покинул группу. После этого в течении двух лет он почти не занимался музыкой. Затем вместе с Дэвидом Хэррисом организовал группу «Duo Zee», которая не имела большого успеха. С 1987 году Райт вновь играл в составе «Пинк Флойд», а также выпускал сольные альбомы.

В 2005 году Ричард Райт в составе «Пинк Флойд» выступил с публичным концертом в Гайд-Парке в Лондоне. Это выступление стало последним для него.

15 сентября 2008 года Ричард Райт умер от рака, не успев закончить сольный альбом, над которым работал.