Андрей Васильевич Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде в семье профессора Политехнического института. В школьные годы его больше интересовали точные науки. В старших классах он всё же увлёкся театром, однако связывать свою судьбу с искусством Андрей не собирался. После окончания школы он поступил в Ленинградский химико-технологический институт.

В 1961 году он решает попробовать свои силы на отборочных турах в школу-студию МХАТ и попадает на курс В. Маркова. В 1965 году, после окончания МХАТа, молодой актёр начинает работать в театре «Современник». Поначалу ему в основном удавались роли «лирического героя», однако с годами он прекрасно овладел мастерством характерного актера, тяготеющего к яркой комедийности и гротеску.

Мягкову великолепно удавалось раскрыть широту души и глубокий драматизм, скрывающиеся за неприметностью его героев. В театре он стал незаменимым исполнителем чеховского репертуара. Впоследствии он работал во МХАТе, также срежиссировал спектакли «Спокойной ночи, мама» (1989) и «Ретро» (2002).

В 1975 году на экраны выходит фильм Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С легким паром!». Герой Мягкова – Женя Лукашин полюбился зрителям, как и сама трогательная и забавная история любви, приключившаяся в Новый Год. Фильм стал невероятно популярным и к Мягкову пришла всероссийская слава. За роль в этом фильме актёр был награжден Государственной премией СССР в 1977 году.

В этом же году Андрей Мягков сыграл в ещё одном всенародно любимом фильме – «Служебный роман», после которого стал лауреатом Государственной премии РСФСР им. Братьев Васильевых. В 1986 году актёру было присвоено звание Народного артиста РСФСР.

В 2008 году Андрей Мягков снялся в фильме «Ирония судьбы. Продолжение».