Александр Степанович Пирогов родился (22 июля) 4 августа 1899 года в Рязани. В семье он был младшим из пяти братьев.

Александр начал петь, когда ему исполнилось шестнадцать лет, он обучался в музыкальном училище Московского филармонического общества, его преподавателем был Василий Тютюнник.

В 1924 году Александр Пирогов пришел в Большой театр и стал его солистом. Вся творческая жизнь певца, более 30 лет, отныне была связана с этим театром. За свою творческую карьеру Александром Пироговым был спет практически весь классический русский и зарубежный басовый репертуар, он также исполнил ряд новых партий в только что написанных советских операх.

По мнению исследователей творчества певца и критиков, вершиной его творчества стал созданный им образ русского царя Бориса Годунова в одноимённой опере Модеста Петровича Мусоргского. За эту роль Александр Пирогов был удостоен в 1949 году Сталинской премии.

Пирогов также выступал как камерный певец, включив в свой репертуар романсы русских композиторов и народные песни. Как свидетельствуют очевидцы, певец поражал голосом редкой красоты и выразительности, имевшим широкий диапазон и неповторимый тембр.

Скончался Александр Степанович Пирогов 26 июня 1964 года на острове Медвежья Голова в Рязанской области.