Евгений Яковлевич Весник родился 15 января 1923 года в Петрограде. Отец, Яков Весник, был видным деятелем большевизма и личным другом Орджоникидзе. В 1930-х годах он занимался строительством, а впоследствии стал первым директором завода «Криворожсталь».

После загадочной смерти Орджоникидзе последовала расправа с родственниками и знакомыми наркома. Яков Весник был арестован и расстрелян; его жена была отправлена в ссылку в Казахстан, а сын помещен в детский дом.

В 1941-1945 годах Евгений Весник участвовал в Великой Отечественной войне (младший лейтенант, командир огневого взвода 1-й гвардейской корпусной артиллерийской бригады). Был награждён двумя медалями «За отвагу», орденами Красной Звезды и Отечественной войны 2 степени.

После войны он поступил и успешно окончил Театральное училище им. М. Щепкина (1948). После училища Евгений Весник стал актером драматического театра им. К.С. Станиславского, с 1954 перешел в театр Сатиры, а в 1963-1992 служил в академическом Малом театре. Кинодебют состоялся в 1955, с тех пор актер активно снимался – на его счету около 70 работ в кино.

С 1992 года работал по договорам. Занимался режиссурой спектаклей в московских театрах и на телевидении. Кроме того, он был театральным режиссером, автором ряда сценариев для радио и телевидения, принимал участие в озвучании мультфильмов.

В последние годы у Евгения Весника были проблемы со здоровьем. В 2005 году он перенёс пневмонию, а 7 апреля 2009 года у него случился инсульт. 10 апреля 2009 артист скончался в больнице. Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.