Александр Борисович Белявский родился 6 мая 1932 года в Москве. В 1955 году он окончил геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота, но по специальности работать не стал - поступил в театральное училище им. Б. Щукина (курс Владимира Этуша), которое окончил в 1961 году.

В 1961-1964 годах он работал в Театр Сатиры, в 1964-1966 годах – в театре им. К.С. Станиславского, а с 1966 года – в Театре-студии киноактёра.

Александр Белявский стал первым ведущим популярного в 1960-1970-х годов «Кабачка 13 стульев», в 1980-х был постоянным участником телепрограммы Ю.В. Никулина «Белый попугай».

Как киноактер Александр Белявский дебютировал в 1957 году в фильме «Рассказы о Ленине». Всего он сыграл более ста разноплановых ролей. Среди них: Сергей Крылов – «Иду на грозу» (1965), капитан Павлов – «Четыре танкиста и собака» (1966), Григорий Бакин – «Таланты и поклонники» (1973), Саша – «Ирония судьбы, или С легким паром» (1975), Павел Борецкий – «Рожденная революцией» (1977), Фокс – «Место встречи изменить нельзя» (1979), Лев Нарышкин – «В начале славных дел» и «Юность Петра» (оба фильма 1980), Л.И. Брежнев – «Серые волки» (1993) и другие.

Александр Белявский принимал участие в дубляже телефильмов в 1980-е годы, его голосом говорят британский комик Бенни Хилл, Король Артур с фильме «Первый рыцарь», Робин Гуд в фильме «Стрелы Робин Гуда и другие». Голос актёра звучит также в мультфильмах «Жил-был Саушкин», «Бюро находок», «Чёрный плащ» и других.

В 2003 году Александру Белявскому было присвоено звание Народного артиста России.