Сергей Михайлович Никольский родился 30 апреля 1905 года в поселке Завод Талица Пермской губернии (ныне город Талица Свердловской области). Его отец был преподавателем в лесной школе.

В 1929 году Сергей Никольский окончил Екатеринославский институт народного образования и в течение десяти лет там же работал. Окончив аспирантуру Московского государственного университета, он в 1935 году защитил диссертацию и стал кандидатом физико-математических наук. В 1942 году Никольский – уже доктор физико-математических наук, а в 1944 году стал профессором.

С 1940 года Никольский работал в МИАН, а в 1947 году пришел на кафедру высшей математики Московского физико-технического института, где проработал 50 лет, до 1997 года (ему в то время исполнилось 92 года). С 1972 года он является действительным членом АН СССР (РАН).

В 2005 году в Москве прошла конференция, посвященная столетию С. М. Никольского, и он сам принял в ней участие.

С.М. Никольский внес большой вклад в развитие теории функций и ее приложений. Он опубликовал более 10 научных работ, среди которых три монографии. С.М. Никольский разработал два учебника по математике для вузов и семь – для школ. Его работы переведены на многие языки мира.

Никольский – лауреат Сталинской премии, дважды лауреат Государственной премии СССР, награжден орденами и медалями, в том числе орденами Трудового Красного Знамени, Ленина, золотой Российской академии наук, медалями имени Больцано Чешской Академии Наук, имени Коперника Польской Академии Наук.