Александр Иванович Иншаков родился 23 февраля 1947 года в Москве в семье учителя физкультуры. Окончил среднюю школу и поступил на завод-ВТУЗ при ЗИЛе, работал механиком.

После окончания Московского педагогического института получил специальность тренера-преподавателя и работал тренером по дзю-до и гимнастике. В середине 1970-х годов получил черный пояс по каратэ.

Благодаря своему инструктору Алексею Штурмину, Александр попал в кино. Первая картина Александра – «Санта-Эсперанса» – не имела особого успеха. За двадцать лет работе на «Мосфильме» в качестве каскадера и постановщика трюков он снялся в очень известных картинах: «Тегеран-43», «Асса», «Случай в квадрате 36-80», «Человек с бульвара Капуцинов», «Квентин Дорвард», «Плюмбум, или Опасная игра», «Холодное лето 53-го года», «Такси-блюз».

Он дублировал известных актеров Леонида Ярмольника, Александра Абдулова, Гойко Митича и других. Иншаков также сыграл главные роли в фильмах «Крестоносец», «Цена сокровищ», «Крысиный угол». В последнем фильме он также является режиссером и продюсером. В нем проведены несколько уникальных трюков.

Приходилось работать ему и на съемках иностранных картин в США, Италии, Югославии, Румынии, Чехии. В 1991 году Иншаков явился инициатором создания Ассоциации каскадеров России (по сути профсоюзом людей этой профессии) и стал ее президентом.